Глава1. Теория пределов. Графики элементарных функций. Функция и график. Функцией y=f(x) называется такая зависимость, когда каждому значению независимой переменной x соответствует одно определенное значение y. График – это графическое изображение функции y=f(x). Способы задания функции. Аналитический: явный (y=f(x)), параметрический (x=x(t), y=x(t), tє[to,t1]), неявный (f(x,y)=0). Графический; Табличный; С помощью ЭВМ, калькулятора. Основные элементарные функции. Линейная; Y=ax+b, a,b – постоянные, a Если tgδ>0 то против часовой Степенная функция; Y=xa;
Показательная; Y=ax;
Логарифмическая; Y=logax;
«Галочка» Y=|x|;
Преобразование графика функции. Y=-f(x);
Y=f(x)+a;
Y=f(x+a);
Y=2*f(x);
Y=f(2*x);
Y=|f(x)|;
Рациональная и дробно-линейная функция. Рациональная функция называется правильной дробью, если степень числителя n Любую неправильную дробь можно сделать правильной путем деления числителя на знаменатель с остатком. Условия существования асимптот. Асимптотой называется прямая линия обладающая следующим свойством: график функции приближается к асимптоте, если точка на графике удаляется в бесконечность. Асимптоты бывают трех видов: Горизонтальная; Вертикальная; Наклонная; Правило существования асимптот; Горизонтальная будет существовать, если дробь правильная n Для существования наклонной асимптоты n=m+1; Для существования вертикальной асимптоты pm(x)=0 (имел нули функции) Эти типы асимптот применимы для рациональной функции. Дробно-линейная функция. Функция называется дробно-линейной, если она имеет вид: y=(ax+b)/(cx+d) a,b,c,d-постоянные. x=-d/c - вертискальная асимптота (ax+b)/(cx+d)- неправильная дробь;n=m→y=a/c- вертикальная ассимптота Неявный способ задания функции. Теория предела последовательности. Последовательностью {a_n }_(n=1)^∞ называется ряд занумерованных вещественных чисел a_n∈R. Последовательность a_n называется: возрастающей(a_(n+1)≥a,∀n); убывающей(a_(n+1)≤a,∀n). Если последовательность имеет предел, то она называется сходящейся, в противном случае называется расходящейся. a_n ограничена, если ∃a>0, что |a_n |≤A,∀n, в противном случае последовательность неограниченна. Если последовательность сходится, то она ограничена. Предел – Число А называется пределом функции f(x) при x стремящимся к а следует, что последовательность уn стремиться к А. Арифметические действия над последовательностью. lim┬(x→a)〖(g(x) ) ∶〗 lim┬(x→a)〖(f(x)+g(x) )=A+B〗; lim┬(x→a)〖(f(x)*g(x) )=A*B〗; g(x)≠0,B≠0→∃lim┬(x→a)〖f(x)/g(x) 〗=A/B; Сумма членов геометрической последовательности. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательность. Последовательность {a_n } бесконечно малая если lim┬〖a_n 〗=0; Последовательность {a_n } бесконечно большая если1/bn, bn – бесконечно малая; Свойства последовательностей: a_n,b_n- бесконечно малые ,a_n*b_n=бесконечно малое; a_n,b_n- бесконечно большие,a_n*b_n=бесконечно большое; a_n- ограниченное,b_n- бесконечно малое ,a_n*b_n=бесконечно малое; Неопределенные выражения и правила раскрытия неопределённостей. Неопределёнными выражениями называются выражения, когда пределы переменных, например а и в бесконечны, либо, когда идёт речь о частном, предел знаменателя равен нулю. Существуют четыре случая когда нельзя найти предел: Неопределённость вида 0/0; Неопределённость вида ∞/∞; Неопределённость вида 0*∞; Неопределённость вида ∞-∞;
Монотонные последовательности. Если для последовательности {x_n } справедливо неравенство x_n≤x_(n+1), ∀n∈N, то её называют неубывающей (возрастающей), или, если знак равенства инвертировать, убывающей. Эти названия объединяют общим термином монотонная последовательность. Число e как предел последовательности. Функции одной переменной.
Типы функции: четная периодическая, ограниченная. Односторонние пределы. y=lim┬(x→a)〖f(x) ↔∀x_n>a и x_n→f(x)→g_+ 〗 определение одностороннего предела. Если существует lim┬(x→a)f(x)→∃ y_-^+ и y_+=y_-; это утверждение применимо и в обратную сторону. Бесконечно малая и большая функции y=f(x) бесконечно малая в точке а, если существует предел и равен 0 (lim┬(x→a)〖f(x)=0〗). a(x) и b(x) – бесконечно малые, тогда: A+/-B - бесконечно малые; A*B - бесконечно малые; a^n (x) - бесконечно малые; √(n&a(x) ) - бесконечно малые; Пусть существует lim┬(x→a)〖f(x)=A→f(x)〗=A+a(x) - бесконечно малые; Бесконечно большая функция A(x) – б.б в точке, если↔A(x)→(_-^+)∞; A,B,C – бесконечно большая в точке: a(x) (_-^+)b(x)- не обязана быть ∞; a(x)*b(x)- бесконечно малая; 1/a(x) - бесконечно малая; Первый и второй замечательный предел Другая формулировка аксиомы полноты вещественных чисел: Пусть последовательность {x_n } является возрастающей или убывающей и ограниченной. Тогда она является сходящейся, следовательно имеет предел. … Непрерывность функции в точке Пусть функция y=f(x) имеет область определения Х, рассмотрим ∀a∈X. f(x) является непрерывной, если выполняются следующие условия: Существует f(a); Существует y_-^+ lim┬(x→a_-^+ )f(x); y_+=y_-; y_-^+=f(a); y=f(x) - является непрерывной в точке а, если: Существует lim┬(x→a)f(x)=A; A=f(a); Если одно из условий нарушается, то функция терпит разрыв в точке а. Типы разрывов Классификация типов разрыва: Если нарушается 3 условие, то это разрыв 1 рода; (см. выше) Если второе условие нарушается, то это разрыв второго рода; Если 2 и 3 выполняется, а 4 нарушается, то это устранимый разрыв; Кусочно-непрерывные функции. Функция называется кусочно-непрерывной, если она имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода, например:
Условие существование асимптот и их виды. Горизонтальная асимптота; Асимптота – прямая линия, обладающая свойством, когда расстояние от графика до асимптоты стремится к 0. y=f(x) ∃ lim┬(x→(_-^+)∞ )〖f(x)=A, y=A〗, A для ±∞ является двусторонней асимптотой. Вертикальная асимптота; Если в знаменатели есть нули, то тогда существует вертикальная асимптота Наклонная асимптота; Условие: Должен существовать lim┬(x→±∞)〖f(x)/x〗=a≠0; Существует lim┬(x→±∞)〖[f(x)-ax]=b〗; Двусторонняя асимптота a,b – при x→±∞; Непрерывность функции на отрезке. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a,b], если для любой точки x→f(x)- непрерывна ,f(x)∈c[a,b] класс функций непрерывн.на отрезке АВ. Арифметические операции и свойства непрерывных функций. Свойства: Пустьf(x),g(x)∈c[a,b] f(x)±g(x)∈c[a,b]; f(x)*g(x)∈c[a,b]; g(x)≠0 ∀x∈[a,b]→f(x)/g(x) ∈c[a,b] C 1 по 3 арифметические свойства. f(x)∈c[a,b],[c,d]- множество значений функции g(y)∈c[c,d]→g(f(x) )∈c[a,b]; Теорема Вейерштрасса и Коши. Первая теорема Вейерштрасса: Если функция определена и непрерывна в замкнутом промежутке АВ, то она ограничена, т.е. существуют такие постоянные и конечные числа m и M, что m≤f(x)≤M при a≤x≤b. y=f(x)∈c[a,b], тогда f ограничена; ∀x |f(x) |≤A существует А∈[a,b] Вторая теорема: y=f(x)∈c[a,b]→существует точка x_1,x_2∈[a,b]; Наибольший М:f(x_1 )≥f(x) ∀x∈[a,b] Наименьший m: f(x_2 )≤f(x) ∀x∈[a,b] Теорема Коши: y=f(x)∈c[a,b] и f(a)*f(b)<0→∃ x∈(a,b) при f(x)=0; Глава2.Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная и дифференциал. Производная одной переменной, её экономический и геометрический смысл. Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке х0, тогда производной функции f^' (x_0 )=lim┬〖(f(x_0+∆x)-f(x_0 ))/∆x=∆f/∆x〗- приращение функц.,∆f-приращение аргумента . Геометрический смысл производной: Производная равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции в точке х0. AC=∆x; BC=∆y=f(x_0+∆x)-f(x_0 ); tgφ=BC/AC=(f(x_0+∆x)-f(x_0 ))/∆x; f^' (x_0 )=lim┬(∆x→0)〖tgφ=tgφ〗;
Экономический смысл производной: f(x) – прибыль предприятия за счёт Х инвестиций. ∆x=1 рубль; tgα=f'(x_0 ); Производная равна величине дополнительной прибыли, полученной за счёт дополнительного рубля инвестиций.
Касательная и нормаль к графику функции. Производная элементарной, сложной и обратной функции. Производная элементарной функции: (x^n )=n*x^(n-1); sin^' (x)=lim┬(∆x→0)〖(sin(x+∆x)-sin(x))/∆x〗=(2sin(∆x/2)∙cos(x+∆x/2)/2)/(∆x/2)=(sin ∆x/2)/(∆x/2)∙cos(x+∆x/2)=cosx; Производная от сложной функции: y=f(x),g(y)→h(x)=g(f(x) ); h'(x)=g'(y)∙f'(x); Пример:cosx≡sin(π/2-x); g(y)=siny; y=π/2-x=f(x); cos^' x=g^' (y)∙f^' (x)=cos(y)∙(-1)=-cos(π/2-x)=-sinx; Производная обратной функции: g(y)- обратная функции f(x)=y; x≡g(f(x) )=h(x); h'(x)=g'(y)∙f'(x)=1/(f^' (x) ) → g'(y)=1/f'(x) ; Примеры: arcsin^' x=1/√(1-x^2 ); arccos^' x=-1/√(1-x^2 ); ln^' x=1/x; tg^' x=1/(〖cos〗^2 x); ctg^' x=(-1)/(〖sin〗^2 x); arctg^' x=1/(1+x^2 ); arcctg^' x=(-1)/(1+x^2 ); Логарифмическое и параметрическое дифференцирование. Логарифмическое дифференцирование: ln^' x=1/x; log_a'x=lnx/lna; log_a'x=ln'x/ln'a=1/(x∙lna); a^x=(e^lna )^x=a^(x∙lna); (a^x )^'= e^(x∙lna)∙lna=a^x∙lna; Пример: h=(sinx )^(cos x)=e^(cosx∙ln sinx); h^'=e^(cosx∙ln sin x)∙(-sinx∙lnsinx +(〖cos〗^2 x)/sinx ); Параметрическое дифференцирование: {█(x=x(t);@y=y(t);@t-параметр)┤; y'(x)=y'(t)/x'(t) ; Пример: x(t)=sin(cost ); y(t)=2^arctg(t) +sin(〖cos〗^2 3t); y^' (x)=(ln2∙2^arctgt∙(1/(1+t^2 ))+cos(〖cos〗^2 3t)∙cos〖3t 〗∙(-sin3t)∙2∙3)/(cos(cost )∙(-sint ) ); Приближённые вычисления с помощью дифференциала. Пример:√(10&1030); √(10&x)=f(x)=x^(1/10); x_0=f(x_0 ); - точно ∆y=f(x)-f(x_0 ); x_0=1024=2^10; x-x_0=∆x=6; 〖df〗_(x_0 ) (∆x)=f^'(x_0 ) ∙∆x=1/10∙x^((-9)/10)=6/(10∙(2^10 )^(9/10) )=6/(10∙2^9 )=3/(5∙2^9 ) Геометрический смысл дифференциала. Дифференциалом функции y=f(x) в точке x0 называется функция 〖df〗_x0 которая обладает двумя свойствами: 〖 df〗_x0=A∙x. А – постоянная; f(x)-f(x_0 )-〖df〗_(x_0 ) (x-x_0 ) – бесконечно малая более высокого порядка x-x_0; Геометрический смысл дифференциала: Дифференциал функции численно равен приращению координаты точки В принадлежащей касательной к графику функции.
BD=AD∙tg φ=f'(x_0 )∙∆x; Арифметические свойства дифференциала. 〖df〗_(x_0 ) (∆x)=f'(x_0 )∙∆x; d(f+g)=df±dg; c− постоянное d∙(c∙f)=c∙df; dc=0; d(f∙g) x_0=g(x_0 )∙〖df〗_(x_0 )+f(x_0 )∙〖dg〗_(x_0 ); d(f/g) x_e=(g(x_0 )∙〖df〗_(x_0 )+f(x_0 )∙dgx_0)/(g^2 (x_0 ) ); dg(f(x) )=dg(∆f); Теоремы о среднем значении. Теорема Ферма: y=f(x) непрерывна в [a,b] и дифференцируема в (a,b) и f(a)=f(b)→∃x_0∈(a,b) такое x_0 локальный экстремум. ∃U(x_0 ) такое f(x_0 )≥f(x)∀x∈U(x_0 ); Теорема Ролля: f(x)∈c[a,b]; f(x) дифференцируема в (a,b); f(a)=f(b)→∃x_0∈(a,b) при f'(x_0 )=0; Теорема Лагранжа (теорема о среднем значении): f(x) – непрерывна в [a,b]; f(x) – дифференцируема в (a,b); ∃x_0∈(a,b) при f'(x_0 )=(f(b)-f(a))/(b-a); tgφ=(f(b)-f(a))/(b-a); X=t – время; f(x)- путь; f'(t) -минимальная скорость;
